I, Kuptimi i logaritmit
Siç dihet, nё shёnimin 32 = 9, 9 ёshtё fuqia dhe 3 ёshtё baza e fuqisё, 2 ёshtё eksponenti i fuqisё.
Shembull Gjeni eksponentin e fuqisё, duke njohur bazёn 2 tё fuqisё dhe vete fuqinё 16.
Zgjidhje: Duke shёnuar me x eksponentin e fuqisё, kemi ekuacionin: 2x = 16 . zgjidhja e kёtij ekuacioni bёhet duke i shkruar tё dyja anёt si fuqi me tё njёjtёn bazё:
2x = 16 ⇔ . 2x = 24 ⇒ x = 4.
Numri 4 ёahtё eksponenti i fuqisё nё tё cilёn duhet ngritur numri 2 pёr tё marrё numrin 16. Ky numёr quhet logaritёm i numrit 16 me bazё 2 dhe shёnohet log2 16.
Pёrkufizim: Logaritёm me bazё a i numrit b quhet eksponenti i fuqisё me bazё a kur fuqia ёshtё b (a > 0 dhe a ¹ 1)
Pёr logaritmin e numrit b me bazё a pёrdoret shёnimi: logab . Sipas pёrcaktimit, nё qoftё se ekziston logab = x , atёhere kemi: ax = b dhe nё qoftё se ekziston njё numёr x i tillё qё ax = b, atёhere x = logab . pra ekuacionet: ax = b dhe x = logab janё tё njёvlefshёm ( ax = b ⇔ x = logab ).
Ushtrime: Tё gjendet: a) log4 64 ; b) log0.5(21.5)
Vini re qё shprehjet log2(-4) ose log50, nuk kanё kuptim sepse ekuacionet 2x = - 4 ose 5x = 0 nuk kanё zgjidhje.
loga b (ku 0 < a ¹ 1) ekziston vetёm atёhere kur b > 0 dhe ёshtё i vetёm.
II. Veti tё logaritmit
1. Logaritmi i prodhimit: loga(x1⋅x2) = logax1 + logax2 , kur x1 dhe x2 janё dy numra pozitivё dhe 0 < a ¹ 1
2. Logaritmi i herёsit: loga(x1/x2) = logax1 - logax2 , kur x1 dhe x2 janё dy numra pozitivё dhe 0 < a ¹ 1
3. Logaritmi i fuqisё: loga(xα) = α⋅ logax , kur x ёshtё njё numёr real pozitiv dhe α njё numёr real ( 0 < a ¹ 1)
III. Funksioni logaritmik. Grafiku i tij
Kur 0 < a ¹ 1 , pёr çdo vlerё tё x –it nga ]0, +∞[ ekziston logax dhe ёshtё i vetёm.
Duke i lidhur çdo vlere tё x –it nga ]0, +∞[ vlerёn pёrkatёse tё shprehjes logax , marrim njё funksion numerik, me bashkёsi pёrcaktimi ]0, +∞[ . Ky funksion jepet me anё tё formulёs: y = logax , x ∈ ]0, +∞[ dhe quhet funksion logaritmik.
Pёrkufizim: funksion logaritmik quhet funksioni i trajtёs y = c⋅logax ku 0 < a ¹ 1 dhe c ¹ 0. Bashkёsinё e pёrcaktimi e nёnkuptojmё qё ёshtё ]0, +∞[
Ushtrim 1 Pёr funksionin logaritmik: y = log2x, x ∈ ]0, +∞[ plotёsoni tabelёn, nxirni nga tabela disa pika tё grafikut tё kёtij funksioni dhe i bashkoni ato me njё vijё tё lёmuar,
|
x |
1/8 |
¼ |
1/2 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
|
Log2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ushtrim 2 Pёr funksionin logaritmik: y = log1/2x , x ∈ ]0, +∞[ plotёsoni tabelёn, nxirni nga tabela disa pika tё grafikut tё kёtij funksioni dhe i bashkoni ato me njё vijё tё lёmuar.
|
X |
1/8 |
1/4 |
1/2 |
1 |
2 |
4 |
8 |
|
|
|
Log1/2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Nё figurёn 1 janё paraqitur grafikёt e funksioneve log2x, log5x , log8x ( nё tё tri rastet a >1) , kurse nё figurёn 2 janё paraqitur grafikёt e funksioneve log1/2x, log1/5x , log1/6x ( nё tё tri kёto rastё a < 1 )
Shqyrtimi i kёtyre rasteve tё veçanta na shpie nё njё pёrfundimi tё pёrgjithshёm:
Grafiku
i funksionit y = logax , x ∈
]0, +∞[
(kur 0 < a ¹ 1) ёshtё njё vijё e
lёmuar. Kur a > 1 , ai ka formёn e paraqitur nё fig.3, kurse pёr 0
< a < 1 ka formёn e paraqitur nё fig. 4. Grafiku ёshtё vendosur
nё tё djathtё tё boshtit Oy dhe e pret boshtin Ox nё pikёn A(1, 0). Me rritjen
e vlerave tё x-it grafiku vjen duke u ngritur (kur a > 1 ) ose
duke u ulur (kur 0 < a < 1) Pra, nё rastin e parё funksioni ёshtё
rritёs dhe nё rastin e dytё, ai ёshtё zbritёs,
Nё rastin mё tё pёgjithёshёm, kur funksioni logaritmik merret nё formёn: y = c⋅logax , x ∈ ]0, +∞[ (kur 0 < a ¹ 1 dhe konstantja c ∈ R), sjellja e funksionit do varet edhe nga vlera e c, nё rastin kur c > 0 sjellja ёshtё e njёjtё me sjelljen e funksionit y = logax , x ∈ ]0, +∞[ (kur 0 < a ¹ 1) , pra ёshtё rritёs kur a > 1 dhe zbritёs kur a < 1. Ndёrsa nё rastin kur c < 0, sjellja e funksionit y = c⋅logax ёshtё e kundёrt nga sjellja e funksionit y = logax, pra ai ёshtё rritёs pёr a <1 dhe zbritёs pёr a >1.
Kёto veti tё funksionit logaritmik mund ti provoni duke ndёrtuar grafikun e tij pёr vlera tё ndryshme tё a dhe c me anё tё applet-it tё mёposhtёm